2011年12月29日木曜日

On the Physical Interpretation of the Traditional Approximation

Nontraditional Coriolis項について多くの人に理解していただくために,問題となっている「Traditional Approximation」を気象力学ではなぜ必要とされているかに関する物理的説明に挑戦する.


端的に言うと,「Traditional Approximation」は角運動量の保存のためにしなくてはならなかった近似である.



そもそも,大気の運動はナヴィエ・ストークス方程式(NS式)で記述される.このことはどの気象力学の入門書にも書いてあるだろう(e.g., Holton 2004).この方程式はベクトル形式で導かれる:
Ω:地球の回転ベクトル,U:風速ベクトル,p:圧力,
ρ:密度,g:重力加速度,Fr:摩擦力など.
この式は,地球の回転による効果(コリオリ力)と圧力勾配による力(圧力傾度力),重力,その他の外力が大気に加速度を与える(左辺)ということを意味している.この時点ではまだ,近似を行なっていない.

NS式を計算のために,東西・南北・鉛直方向に成分分解する必要がある.その際に,鉛直方向を「楕円である等ジオポテンシャル面」に垂直な方向とすれば,重力加速度が水平成分を持たないので扱いが楽である.ところが,安直にそうしてしまうと地球を楕円として計算しなくてはならず,厄介である.そこで施すのが「球面ジオポテンシャル近似」であり,その「楕円である等ジオポテンシャル面」を球面として扱えるようにするものだ.詳細はWhiet et al. (2005)を読んでいただきたいのだが,この近似は我々が扱う領域では非常に良い精度で成り立つ.それで導かれるのが以下のような成分方程式系である:
u,v,w:風速,φ:緯度,r:地球中心からの距離.
いま,rは地球の中心からの距離という独立変数である.左辺にあるrを分母に含む項はメトリック項といい,地球の曲率に関連した項である.また,左辺のsinφを含む項は地球の回転ベクトルの鉛直成分に基づくコリオリ項であり,cosφを含む項は水平成分に基づくコリオリ項,すなわちNontraditional Coriolis項(NCTs)である.この方程式系はNCTsを含む非静力学方程式系(NonHydristatic Deep equations;NHD)そのものである.この方程式系は角運動量やエネルギー,渦位の保存則を満たす.

NHDは非常に良い方程式系だが,地球の大気というのは実質的には100km程度であり,地球の中心からの平均距離6371kmと比べて非常に小さいという理由から,より簡単に扱えそうである.メトリック項に含まれるrという変数を地球の平均半径aという定数で置き換えてしまい,一方で鉛直方向の勾配のrはzに置き換えると,NHDは次のように簡単化される:
r → a,r微分 → z微分.
この方程式系に施された「地球の平均半径aで置き換える近似」は,言い換えると,「鉛直方向の変位を固定した」ということである.実は,この近似によって,方程式系の角運動量保存則が満たされなくなっているということにお気づきだろうか?

東西方向の運動方程式に注目してほしい.鉛直方向の伸び縮みがないという仮定をしているのにもかかわらず,鉛直方向の速度に関連する項が存在している―そう,NCTsとメトリック項だ.本来ならば上昇流があると空気が「上へ」移動する.その時に,変数である「r」が伸び,「地球の回転軸からの距離」が大きくなる.そのような関係がNHDでは成り立っており,角運動量保存則が成立していた.ところが,変数「r」を定数「a」で置き換えると,その角運動量を保存する関係は破綻してしまう.したがって,鉛直速度wを含む項を除外しなくてはならない.このことは,White et al. (2005),もしくはWhite and Bromley (1995)で丁寧に式変形で解説されている.物理的には上記のイメージであろう.

同様の考えより,南北方向の運動方程式からも左辺のwを含むメトリック項を除外する.また,鉛直方向の運動方程式からは,水平風u,vを含む左辺のメトリック項と右辺のNCTsを除外する必要がある.これは,水平方向に速度がある場合に鉛直方向の変位があり,鉛直運動方程式においてはそれらを除外しなくては角運動量保存則が破綻するからである.

以上のような幾つかの項の除外,すなわち「Traditional Approximation」を施すと,角運動量を保存する方程式系が導かれる:
この方程式系はNonHydrostatic Shallow方程式系(NHS)と呼ばれており,NCTsを含まない非静力学方程式系である.これは保存則を満たす4つの方程式系の1つとして,White et al. (2005)によって紹介されているが,あまり一般的ではないかもしれない.しかし,非静力学モデルでNCTsを加えない設定にしているひとはこの方程式系を用いている(はず)だから,もっと一般に知られるべき方程式系である.

NHSのうち,鉛直運動方程式においては圧力傾度項と重力加速度項とのバランスが良い精度で成り立っているため,左辺の鉛直加速度項を除外したくなるだろう.それを除外しても角運動量の保存には支障がないため除外してやると,かの有名な静力学プリミティブ方程式系(Hydrostatic Primitive Equations;HPEs)が完成する:
この方程式系は多くの有名な教科書(e.g., Holton 2004)では,中緯度におけるスケール解析で小さな項を除外することで導かれている.しかしその除外は,正確に言えば,角運動量の保存を満たすために「なさなくてはならなかった」近似である.

HPEsは保存則を満たす上に,扱いが簡単(変数分離可能など)なので,これまで気象学を大いに発展させてきた.現在でも,世界中の全球予報モデルや再解析データを作るのに用いられている.一方で,熱帯でのNCTsの除外に関してはその不適当さが指摘されている(e.g., White and Bromley 1995; Hayashi and Itoh 2012).そこで,保存則を満たすもう一つの方程式系である準静力学方程式系(QuasiHydrostatic Equations;QHEs),
を用いてNCTsの影響を調査しようというのが,私の研究である.

【References】
Hayashi, Michiya and Hisanori Itoh, 2012: The Importance of the Nontraditional Coriolis Terms in Large-Scale Motions in the Tropics Forced by Prescribed Cumulus Heating. J. Atmos. Sci., 69, 2699-2716.
Holton, J. R., 2004: An Introduction to Dynamic Meteorology. 4th ed., Academic Press, 535 pp.
White, A. A. and R. A. Bromley, 1995: Dynamically consistent, quasi-hydrostatic equations for global models with a complete representation of the Coriolis force. Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 121, 399–418.
White, A. A., B. J. Hoskins, I. Roulstone, and A. Staniforth, 2005: Consistent approximate models of the global atmosphere: Shallow, deep, hydrostatic, quasi-hydrostatic and non-hydrostatic. Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 131, 2081–2107.

がむしゃら

2011年というのは私にとって「がむしゃらな一年間」だった.
気象学会,国際学会,論文投稿に初チャレンジし,それと同時に多くの人と出会ってきた.財産となる一年間だった.



ちょうど一年ほど前,気象の研究として学部4年中間発表を終えていた.そして,卒業研究の発表,卒論….気象を必死に学ぶ学生が,気象研究者という世界に一歩足を踏み入れた瞬間だった.それから一年が過ぎた.


そもそも何で気象の道に進もうと考えたのか.ふと,そんな疑問が頭をよぎる.確か気象研究者になりたいと思ったのは高校2年の初め頃.当時は高校で受験勉強を主にしながら,部活をプレクトラムアンサンブル部(マンドリンクラブ)で満喫していた.

そんな中,もう一つ興味があったことが「地球温暖化」しているという事実だった.とりわけ勉強していたわけではなかったが,ひとつの疑問は頭から消えなかった:

「何で気象学者がたくさん頑張っても,温暖化していることすら社会に認められず,また温暖化のメカニズムも解明されないんだろう.」

何で解明されないのかという疑問…当時だからこそ口にできたんだと思う.その原因は人為的か自然的かというのは多くの本で言い合われていた.私自身はなんとなく温暖化は人為起源だと信じていたが,その説明はできたわけでもない.今でもメールの流出事件によって「気象学者が作り出している事実」のように噂されることもある.(その件に関しては反論がある.生データを一般の人が見て理解できるわけがないので,それをわかりやすく説明するために図表を作っている.細かい議論をしても本質は変わらない.それをデータの改竄と呼ぶものは勉強不足だ.)とにかく,気象への道に私を誘ったのはそんな疑問であった.結果的に九州大学を選び,受験した.そして目標であった研究室である「対流研科学研究室」に無事配属された.


気象の勉強は学部初期から授業があった.伊藤先生の大気海洋科学を始めとして多くの授業を履修してきた.それと同時に物理や数学の基礎も学んだ.3年の前半は興味が数学に移り,線形代数などをよく勉強した気がする.3年生の後期に配属が仮決定されるので,それまでの成績は非常に重要だった.幸い,点数は足りた.それが決まると,気象を学びたい気持ちがより一層強くなった.そこで川野先生に紹介してもらった「気象力学通論」(小倉義光 著)を必死に読んだ.夏から冬にかけてはそればかり読んでいた.3月に入る頃に読み終わった.力学的に大変難しかったので,再び数学に惹かれてきて,ベクトル解析を学び直した.ちょうどその頃,指導教官の退官が近いということで,大学院は他大学に行くことも考えていた.3月に東大の先生と会って,自分がやりたいことを話して,たしかにここの研究室が向いているかもしれないと言われた.しかしながら,最終的には九州大学を選んだ.うちの指導教官にあと2年間指導してもらえるなら,どうしても指導を受けたいと直感的に感じたからだ.ただ,その東大のK先生から聞いた言葉は一生忘れないだろう:

「絶対にStandardを下げるな.回りがどうであれ,常に自分ができる最大限で臨め.」


学部4年生になり,研究テーマを決めなくてはならなくなった.先生に持ちかけたのは「大気海洋結合を含む大規模スケールの現象を,力学的に扱える研究がしたい」ということだったはずだ.かなり大ざっぱな興味であった.先生に相談した結果,次のようにテーマが決まった:

「まずは大気から研究するということで,熱帯での力学を数値モデルを使って研究しないか.前から気になっているテーマがある.」

ということで,今のテーマである「Nontraditional Coriolis項(NCTs)の熱帯での重要性」に出会った.元々の興味とは逸れているのだが,興味深い内容だったのでこれを研究することに決めた.はじめは非常に苦労した.二次元で分散関係がどうNCTsの有無で変わるか,式を一生懸命変形したり,強制を与えて数値計算したりして調べたが,ほんの少ししか影響がない.重要じゃないではないか…という結論で終わりそうになった.

3次元実験をして,ようやく重要だという結論にたどり着けそうになってきた.なんとか卒研発表を乗り越えた.
当時のポスターは文字が多くてわかりにくい...

それを,他の実験も全て含めて卒論にまとめて,3月5日に気象学会九州支部会で発表した.当時の発表が聴衆に伝わったかどうかは今となっては疑問でしか無い.同様の内容は,2011年春の気象学会でもポスター発表している.その時は現業の方や他大学の人,防衛大のNCTsに注目している先生など,多くの人に脚を運んでもらえた.ほんとうに嬉しかった.ただ,彼らと名刺交換などをしておらず,誰が聞きに来てくださったのか分からなくなってしまったのは,悔いが残る.名刺を作っておけば良かった.

その発表後にさらに考察を重ねて,直感的にNCTsの影響が何故大きくなるかまでわかった.さらに,先生と協力して式による証明にも成功した.ここまでまとめることができたのは指導教官とともに研究してきたからである.そして,それを投稿論文にする作業が始まった.日本語で書き始め,何度も議論を重ねて英語に翻訳した.ちょうどその頃,韓国で日中韓気象連合大会があると聞きつけたので,思い切って参加することに決めた.国際学会デビューである.夏には夏の学校が名古屋であり,そこで多くの人と出会った.昨年も参加したが,さらにその輪が広がった.このような人とのつながりは,一生大事にしていく.口頭発表をしたことで,NCTsを少し有名にすることができた.また,伝わるプレゼンについて考え始めたのもこの頃である.
初めに「まとめ」たのは良かった.


論文の翻訳が終わりそうな頃,韓国に行く日がやってきた.練習に練習を重ねた.ネイティブの先生に見てもらい,非常に有用なアドバイスを貰った.発表当日,練習した分だけ堂々と発表できたと自負している.ただ,もっと海外の学生と交流すればよかったと後悔は残る.それが終わってすぐ英語への翻訳を終わらせ,12月に投稿まで持っていった.今はレビューを待っている状態だ.




気象学会デビュー,国際学会デビュー,論文投稿…新しいことづくしの一年間だった.がむしゃらに,なんでも周囲に合わせないように意識的に取り組んできた結果だろう.業績より嬉しいのは,その場その場で多くの人に出会ったことだ.彼らとFacebookでいつでも議論できるというのが,また面白い.当然,Facebookにいない人たちとは学会会場でまた会って議論したくてたまらない.がむしゃらに無理をしてでも頑張った結果,今の現状に至る.2011年は「がむしゃらな一年間」だったと,言い切れる.


2012年は,先生の退官に伴って,博士課程の行き先を考えなくてはならない.自分の中での様々な決心がつかないでいるので,しばらくはそのことで悩まなければならないだろう.来年の一年間は,

博士課程に進学するであろう「2013年度の自分自身のために,全力を尽くす.」

長いプレゼン,式のプレゼンの苦悩

第13回地球流体力学研究集会(12月14日~15日)で発表した.

「熱帯での積雲対流に関連した大規模運動におけるNontraditional Coriolis項の重要性について」
写真
*再現動画.再現では持ち時間を超過してしまった...
*Google+の動画の埋め込み方がわからない...リンクへ.


発表時間は質疑あわせて25分,
聴衆はおそらく「力学屋」.

これまでの発表とは,以下の2点で状況が異なる:

  1. 長い発表だと,メッセージを伝えるだけでは物足りないかも.
  2. 力学屋は式に反応するだろうから,式を多めにしたほうがいいかも.


まず1つ目に関してだが,これまでの多くの発表は発表時間10分前後と大変短かった.したがって,注意してきた点はただひとつ:

「Advertise」としてメッセージを強調し,相手の興味を惹くこと.

相手の興味を惹けば,質疑,さらには発表後の休憩時間,懇親会などで議論は弾む.だから,自分の研究を宣伝しさえすれば,プレゼントしては成功だ.しかし,それが20分程度になると話は違うかもしれない.一つのメッセージを突き通すのではなく,その結論にたどり着いた理由を幾分詳細に語らなくてはならない.だが,逆に考えれば20分「しかない」のだから,全てを語る「Full Story」とする訳にはいかない.ということで,

どこまで付け加えて話すか?

―それが今回最も悩んだ点である.

最近はプレゼンはアナログに作るようにしていて,「紙」と向かい合うところから始めた.ストーリーを作っていき,流れは完成した.そこでPCを開いてスライド作りに取り掛かった.当然,ひとスライド,ひとメッセージというルールは変わらない.そして発表二日前に数人の人に集まっていただき,発表練習を行った.…みんなの顔が次第に歪んでいく.特に,今回意識した「式」による説明の部分だったと思う.そして質疑に入ると,先生から一言:

「今の流れでは,僕ですらついていけないよ.」

いつの間にか,ものすごく難しい内容を20分という短時間に押し込んでいた.時間をかければわかるかもしれないが…といった内容である.何が悪かったか考えてみた.原因はきっと,

「力学屋」ならわかるだろう

という根拠のない,焦点となる聴衆の決め方だった.発表の流れで不要な部分を削り,やはり「メッセージを限りなく強調」する必要があった.どこが不要だと思うか練習の際に先輩に指摘を頂いたので,それを参考に式による説明を半分未満にした.その分,メッセージは強調できるように,余裕のある流れに変えた.

結局,伝えたいメッセージは発表時間が長くても短くても変わらない.だから,時間が増えたからといって,多くを付け足してはならない.ましてや,それが難しい内容であっては聴衆は嫌な思いをするだけだ.出来る限り「簡潔」にまとめ,聴衆に難しいと思わせない内容にまとめるよう,心がけなくてはならない.




ここで,2つ目の困難と直面することになる.通常,スライドには「ひとつの図表」のみに留め,それを利用して発表者がプレゼンする.しかし,それが

図表ではなく「式」である場合にはどうあるべきか.

この答えはまだ見つかっていない.非常に悩ましい問題だ.式が有名なものであれば皆納得してくれる.しかし,研究においては式はオリジナルであり,だれも知らないことが普通である.それをいかに簡単に伝えれるかは,一生の課題としてまとわりついてきそうなほどだ.一応,どの式からどの式が出てきて,その式から何を言いたいのかは,

矢印や一言を書き加えることで対処したつもりだ.

しかし,なにか物足りない.臨場感にかけると言うか,興奮しにくいと言うか….とにかく,これでは不十分なのだ.そこで,知人に紹介された一つの動画を見て,一つのことに気づいた.

彼女は,

数学的な式を,物理的意味を持ったバランス関係として,

あたかも簡単なことを言っているように話している.これが重要なことなのではないだろうか?私自身の発表ではそこに意識はおいておらず,むしろ導出さえすれば,結論を言えばいいというほどに勘違いしていた.今後は彼女のように話せるよう努力したい.その前に,自分が用いている式を正確に,物理的バランスとして解釈するところからはじめなければ.



今回の発表を通じて考えたことの結論:

  1. 長い発表でも,メッセージを伝える重要性に変わりはない.
  2. 力学屋が好きな式でも,数式を物理的バランス関係として説明する.


次の発表は学内になる.今から楽しみになってきた.